弧矢算术 - (TXT全文下载)

六万二千二百○八加入前二因上亷得二十一万七千七百二十八为减亷　置一乗益亷之亷得六万三千○七十二步并益亷之方共一十四万一千九百一十二为益亷之筭　置一自之以乗初益下亷得一万六千八百一十九步二分并入益亷之筭共一十五万八千七百三十一步二分为益亷　置一乗隅上亷得四千八百　置一自之以乗隅下亷得二千五百六十　置一自乗再乗得五百一十二为隅法并方法上下亷隅法共一万一千八百七十二为减隅　并减亷共二十二万九千六百为减从之筭以减原从余一十一万○九百八十八步八分加益亷共二十六万九千七百二十为下法与上法相乗除实尽
　　矢除半筭得七十二为矢径差加矢即圆径倍矢筭以圆径除之得七步二分为背差加即弧背　圆径自之四而三得六千○七十五步以畆约之为畆
　　解曰求矢者起于与径今不知径而有残周故以自乗半自乗相乗为实方中取圆故四而三之为三乗方实以并残周与半筭相乗为从方而从方之中又多一筭两半筭及矢自乗再乗之数故以全筭与倍半筭为上亷并求出矢自乗再乗之数以减之却以并残周为益下亷以求出矢两度乗之并余从以为法盖隅与上亷专主于减从而下亷所以益从也
　　筭为平方以乗之为立方又以半筭乗是为三乗方
　　正实五百○三万八千八百四十八乃三乘方数内下亷该除一百五十三万二千六百四十九步六分从方该除三百五十○万六千一百九十八步四分从方三十四万○五百八十八步八分乃立方之数内上亷减一十三万九千九百六十八隅减五千八百三十二止存一十九万四千七百八十八步八分以矢十八因之以除实
　　上亷减从除实用减从开平方法
　　从方带上亷一度矢乗之数共三十三万四千七百五十六步八分以十八因之该正实六百○二万五千六百二十二步四分欠二百五十一万九千四百二十四乃上亷减去之数
　　初商一十　置一为上法　置一乗上亷得七万七千七百六十以减从方余二十五万六千九百九十六步八分与上法相乗除实二百五十六万九千九百六十八余实九十三万六千二百三十○步四分　倍上防得一十五万五千五百二十为亷法
　　次商八　置一为上法　置一乗上亷得六万二千二百○八并亷法共二十一万七千七百二十八以减原从余一十一万七千○二十八步八分为下法与上法相乗除实尽
　　从方假作平方形长一十九万四千七百八十八步八分濶一十八步带十八因上亷共长三十三万四千七百五十六步八分　初商十步十因上亷止除七万七千七百六十少减六万二千二百○八步计多除正实六十二万二千○八十　次商濶八步如从方原长该除实一百五十五万八千三百一十○步八分今止余实九十三万六千二百三十○步四分欠六十二万二千○八十正合初商多除之数　次商倍亷法多减七万七千七百六十以八因之其数适合此自然之妙凡用减从者俱如此
　　隅减从用减从开三乗方法
　　隅立方并从共二十○万○六百二十○步八分以十八因该正实三百六十一万一千一百七十四步四分欠一十○万四千九百七十六乃隅减之数初商一十　置一为上法　置一自乗再乗得一千为方法以减从方余一十九万九千六百二十○步八分为下法与上法相乗除实一百九十九万六千二百○八步余实一百五十○万九千九百九十○步四分　四因方法得四千为方法　初商自之六因得六百为上亷初商四之得四十为下亷次商八　置一为上法　置一乗上亷得四千
　　八百　置一自之以乗下亷得二千五百六十置一自乗再乗得五百一十二为隅法并方亷隅共一万一千八百七十二为减从以减原从余一十八万八千七百四十八步八分为下法与上法相乗除实尽
　　初商多存长四千八百三十二濶十步共四万八千三百二十次商多减六千○四十以八因之相合下亷除实
　　下亷二百六十二步八分十八因之得四千七百三十○步四分为平方积又十八因得八万五千一百四十七步二分为立方积又十八因得一百五十三万二千六百四十九步六分为三乗方积
　　初商一十　置一为上法　置一自之以乗下亷得二万六千二百八十为下法与上法相乗除实二十六万二千八百余实一百二十六万九千八百四十九步六分　三因下法得七万八千八百四十为方法　三因初商以乗下亷得七千八百八十四为亷法　次商八置一为上法　置一乗亷法得六万三千○七十二步置一自之以乗下亷得一万六千八百一十九步二分并方亷共一十五万八千七百三十一步二分为下法除尽
　　方圆术【附】
　　圆求容方
　　术曰方径即圆径若求圆积四而三之不必立法惟以圆求方其法不一姑録于此盖径一则围不止于三所谓围三径一者举其大较耳
　　圆周五尺中容一斗斗方面几何
　　答曰斗靣一尺一寸六分六厘【三分厘之二】
　　术曰七因周得三尺五寸以三归之
　　此术载呉信民筭法以周为以方为股然七因五尺为三十五未是
　　圆材径二尺一寸为方靣几何
　　答曰方径一尺四寸五十八分寸之四十九
　　术曰径为股自之得四百四十一寸折半平方开之又曰三因径得六尺三寸七分因之三归得方靣一尺四寸一十分寸之七
　　圆径十尺问容方面几何
　　答曰容方面七尺
　　术曰三其径得三十尺以七寸因之得二十一尺三归得七尺方圆之术径一则围三有竒方五则斜七有竒难以一定之法例之【径自之折半平方开之多一筭】
　　圆径折变
　　圆周求径
　　古法围三径一　徽术周一百五十七径五十宻术周二十二径七
　　周八十四问径
　　古术答曰二十八
　　术用三归
　　徽答曰二十六步【一百五十七分步之一百一十八】术曰周五十因如一百五十七而一
　　宻答曰二十六步【一十一分步之八】
　　术曰周七因如二十二而一
　　周八十七【二十五分步之二十三】问径
　　古术答曰二十九步【七十五分步之二十三】
　　术曰分母通其全分子从之得二千一百九十八为实三因分母得七十五为法
　　徽答曰二十八步
　　术曰分母通其全分子从之以五十因之得一十○万九千九百为实　一百五十七因分母得三千九百二十五为法
　　宻答曰二十七步【二百七十五分步之二百六十八】术曰分母乗其全分子从之七因得一万五千三百八十六置分母以二十二因得五百五十为法不尽者法实俱半约之
　　假如厯法周天三百六十五度二十五分七十五秒问周天径几何
　　答曰一百二十一度七十五分二十五秒
　　此以围三径一求之
　　以徽术求之为径几何
　　答曰径一百一十六度三十二分四十秒【一百五十七分秒之七】
　　术曰五十因周得一万八千二百六十二度八十七分五十秒以一百五十七除之
　　以宻术求之为径几何
　　答曰一百一十六度二十一分八十二秒【二十二分秒之二十一】
　　术曰七因周得二千五百五十六度八十○分二十五秒以二十二除之
　　圆径求周
　　圆径二十八问周
　　古法答曰八十四
　　术用三因
　　徽答曰八十七步【二十五分步之二十三】
　　术曰径一百五十七因得四千三百九十六如五十而一
　　宻答曰八十八步
　　术曰径二十二因如七而一
　　圆径二十六步【一百五十七分步之一百一十八】问周古法答曰八十步【一百五十七分步之四十】
　　术曰分母通其全分子从之三因得一万二千六百为实如分母而一
　　徽答曰八十四步
　　术曰分母通其全分子从之又一百五十七因得六十五万九千四百为实　分母五十因得七千八百五十为法
　　又曰分母通其全分子从之得四千二百如五十而一
　　宻答曰八十四步【一百五十七分步之一十二】术曰分母通其全分子从之又二十二因得九万二千四百为实　七因分母得一千○九十九为法
　　圆径二十六歩【一十一分步之八】问周
　　古法答曰八十步【一十一分步之二】
　　术曰分母通其全分子从之得二百九十四又三因得八百八十二为实如分母而一
　　徽答曰八十三步【二百七十五分步之二百五十四】术曰分母通其全分子从之又一百五十七因得四万六千一百五十八为实　五十因分母得五百五十为法
　　宻答曰八十四步
　　术曰分母通其全分子从之又二十二因得六千四百六十八为实　七因分母得七十七为法
　　又曰分母通其全分子从之倍之得五百八十八如七而一
　　圆周求积
　　周八十四问积
　　古术答曰五百八十八步
　　术曰周自之得七千○五十六如圆法十二而一徽答曰五百六十一步【一百五十七分步之一百二十三】术曰周自之又二十五因得一十七万六千四百为实如三百一十四而一
　　宻答曰五百六十一步【一十一分步之三】
　　术曰周自之七因得四万九千三百九十二为实如八十八而一
　　圆周八十七步【二十五分步之二十三】问积
　　古法答曰六百四十四步【一千八百七十五分步之三百○一】术曰分母通其全分子从之得二千一百九十八自之得四百八十三万一千二百○四为实　分母自之得六百二十五又十二因得七千五百为法徽答曰六百一十五步【二十五分步之一十一】术曰分母通其全分子从之自乗又以二十五乗之得一亿二千○七十八万○一百为实　分母自乗又以三百一十四乗之得一十九万六千二百五十为法除之不尽八万六千三百五十法实皆七千八百五十约之
　　宻答曰六百一十四步【一万三千七百五十分步之一万二千一百○七】术曰分母通其全分子从之自乗又七因得三千三百八十一万八千四百二十八为实　分母自乗又八十八因得五万五千为法除之不尽四万八千四百二十八法实皆四约之
　　周八十八步问积
　　古法答曰六百四十五步【三分步之一】
　　术曰周自之得七千七百四十四如十二而一徽答曰六百一十六步【一百五十七分步之八十八】术曰周自乗二十五因得一十九万三千六百为实如三百一十四而一
　　宻答曰六百一十六步
　　术曰周自之七因得五万四千二百○八为实如八十八而一
　　圆径求积
　　圆径二十八步问积
　　古术答曰五百八十八步
　　术曰径自乗四归三因
　　徽答曰六百一十五步【二十五分步之一十一】术曰径自乗以七十八步半因之得六万一千五百四十四如百而一
　　宻答曰六百一十六步
　　术曰径自乗一十一因得八千六百二十四如一十四而一
　　圆径二十六步【一百五十七分步之一百一十八】问积古法答曰五百三十六步【二万四千六百四十九分步之一万八千一百三十六】术曰分母通其全分子从之自乗四归三因得一千三百二十三万为实分母自之得二万四千六百四十九为法
　　徽答曰五百六十一步【二万四千六百四十九分步之一万九千三百一十一】术曰分母通其全加分子自乗又以七十八步半乗之得一十三亿八千四百七十四万为实　分母自乗百因得二百四十六万四千九百为法
　　宻答曰五百六十二步【二万四千六百四十九分步之七千二百六十二】术曰分母通其全加分子自乗得数又以一十一因之得一亿九千四百○四万为实
　　分母相乗又十四因之得三十四万五千○八十六为法除之未尽一十○万一千六百六十八法实皆一十四约之
　　圆径二十六步【一十一分步之八】问积
　　古法答曰五百三十五步【一百二十一分步之九十二】术曰分母通其全加分子自乗得数四而三之得六万四千八百二十七为实
　　分母相乗为法
　　徽答曰五百六十步【六千○五十分步之四千六百一十三】术曰分母乗其全加分子自乗又以一百五十七乗之得一千三百五十七万○四百五十二为实　分母自乗二百因之得二万四千二百为法
　　宻答曰五百六十一步【一十一分步之三】
　　术曰分母通其全加分子自乗又一十一因之得九十五万○七百九十六为实　分母自之又十四因之得一千六百九十四为法
　　圆积求周
　　圆积五百八十八步问周
　　古法答曰周八十四步
　　术曰十二因积平方开之
　　徽答曰八十五步【一万七千一百分步之一万六千五百二十八】术曰积三百一十四因得一十八万四千六百三十二以二十五除之得七千三百八十五步二八平方开之
　　宻答曰八十五步【一百七十一分步之一百六十七】术曰积八十八因得五万一千七百四十四七除之得七千三百九十二平方开之
　　平方还原方自乗以分母乗之得一百二十三万五千四百七十五　分母子相乗得二万八千五百五十七为益实并得一百二十六万四千○三十二为实分母为法除之还原
　　圆积六百一十六步问周
　　古法答曰周八十五步【一百七十一分步之一百六十七】术曰十二因积得七千三百九十二为实平方开之徽答曰八十七步【一万七千五百分步之一万六千七百九十六】术曰积三百一十四因得一十九万三千四百二十四以二十五除之得七千七百三十六步九六平方开之不尽者以百因约之
　　宻答曰八十八步
　　术曰积八十八因得五万四千二百○八以七除之得七千七百四十四平方开之
　　圆积五百六十一步【一百五十七分步之一百二十三】问周几何古法答曰周八十二步【二万五千九百○五分步之二千七百三十二】术曰分母乗其全加分子得八万八千二百以圆法十二因之得一百○五万八千四百为实　以一百五十七为隅法作从隅开平方法除之
　　初商八十　置一于左上为法　置一乗从隅得一万二千五百六十为隅法与上法相乗除实一百○○万四千八百余五万三千六百未尽　倍隅法得二万五千一百二十为亷法　约次商二　置一于左次为上法　置一乗从隅得三百一十四并入亷法共二万五千四百三十四为下法与上法相乗除实五万○八百六十八　尚余二千七百三十二倍八十二加一筭以分母乗之为母约之
　　又术分母通其全加分子十二因之得一百○五万八千四百又以母乗之得一亿六千六百一十六万八千八百平方开之得一万二千八百九十　余实一万六千七百未尽另寄　将开出之数以分母约之得八十二　仍未尽一十六以分母乗之得二千五百一十二加入寄位共一万九千二百一十二为不尽之数　倍八十二加一筭得一百六十五以分母乗之得二万五千九百○五
　　徽答曰八十四步
　　术曰分母通其全加分子得八万八千二百以三百一十四因得二千七百六十九万四千八百以二十五因分母得三千九百二十五为法除之得七千○五十六平方开之
　　宻答曰八十四步【二千○四十一分步之一百○八】术曰分母通其全加分子得八万八千二百又八十八因得七百七十六万一千六百　七因分母作一千○九十九除之得七千○六十二　余实四百六十二未尽
　　置七千○六十二平方开之得八十四　余六未尽以分母通之得九百四十二加前未尽共一千四百○四倍八十四加一筭得一百六十九以分母乗之得二万六千五百三十三是谓二万六千五百三十三分步之一千四百○四　法实皆十三约之得二千○四十一分步之一百○八
　　积四十五步【一十一分步之九】爲宻圆周几何
　　答曰二十四步
　　术曰分母乗其全加分子得五百○四以八十八因之得四万四千三百五十二以七因分母为七十七除得五百七十六平方开之
　　右四元玉鉴所载不用从隅
　　圆积求径
　　圆积五百八十八步问径
　　古法答曰二十八步
　　积三归四因平方开之
　　徽答曰二十七步【八千六百三十五分步之三千一百四十七】术曰积百因得五万八千八百以七十八步半为从隅平方开之　初商二十置一于左上为法置一乗从隅得一千五百七十为隅法与上法相乗除实三万一千四百余实二万七千四百未尽　倍隅法得三千一百四十为亷法　约次商七　置一于左次为上法　置一乗从隅得五百四十九步半并亷法共三千六百八十九步半为下法与上法相乗除实二万五千八百二十六步半　余实一千五百七十三步半　倍二十七加一筭得五十五以七十八步半因之得四千三百一十七步半法实皆倍命之宻答曰二十七步【六百○五分步之二百一十三】术曰积一十四因得八千二百三十二以一十一为从隅平方开之　初商二十　置一于左上为法置一乗从隅得二百二十为隅法与上法相乗除实四千四百余实三千八百三十二　倍隅法得四百四十为亷法　约次商七　置一于左次为上法置一乗从隅得七十七为隅法　并亷隅共五百一十七为下法与上法相乗除实三千六百一十九余实二百一十三未尽如前法约之
　　积六百一十五步【二十五分步之一十一】问径
　　古法答曰二十八步【四千二百七十五分步之二千七百四十四】术曰分母乗其全加分子得一万五千三百八十六以四因之得六万一千五百四十四分母三之为七十五为从隅平方开之余实二千七百四十四倍开出之数加一算得五十七以从隅因之得四千二百七十五为母约之
　　徽答曰二十八步
　　术曰以积分母除分子得四分四厘加全步得六百一十五步四分四厘百之得六万一千五百四十四为正实以七十八步五分为从隅平方开之
　　宻答曰二十七步【一万五千一百二十五分步之一万四千九百二十九】术曰置积以分母通之加分子得一万五千三百八十六以一十四因之得二十一万五千四百○四为正实以二百七十五为从隅平方开之　余实一万四千九百二十九　倍径加一算以从隅乗之为分母约之
　　平圆积四十五步【一十一分步之九】问宻圆径几何答曰七步【一十一分步之七】
　　术曰分母乗其全加分子以一十四乗之得七千○五十六平方开之得八十四以一十一除之不尽七还原法曰分母乗七加分子自之又一十一因得七万七千六百一十六为实　分母自之又一十四因得一千六百九十四为法　除之得四十五余一千三百八十六法实皆一百五十四约之还原数
　　黄钟算附
　　假如黄钟之管空容九分问围圆几何
　　答曰围圆一十○分三厘【二百○七分厘之一百九十一】此以围三径一求之十二因积得一百○八平方开之以徽术推之得几
　　答曰围一十○分七厘【二百一十五分厘之五十五】术曰积三百一十四因得二千八百二十六以二十五除之得一百一十三○四平方开之
　　以宻术推之得几
　　答曰围一十○分【一百四十七分分之九十二】术曰积八十八因得七百九十二如七而一得一百一十三【七分之一】平方开之不尽一十三以七因加一为子倍十分加一七因为母命之
　　黄钟之管空容九分问径
　　答曰径三分四厘六毫【六百九十三分毫之二百八十四】此用三归四因平方开之
　　以徽术求之
　　答曰径三分三厘八毫【五十三万一千四百四十五分毫之三万一千八百四十六】术曰百因积得九百分以七十八分半为从隅平方法开之　初商三分　置一于左上为法　置一乗从隅得二百三十五分五厘为下法与上法相乗除实七百○六分半余实一百九十三分半倍隅法得六分为防法　次商三厘　置一于左上为法　置一并亷法共六十三厘以乗从隅得四千九百四十五厘五毫与上法相乗除实一百四十八分三厘六毫五丝余实四十五分一厘三毫五丝　倍初次商得六分六厘为亷法三商八毫　置一于左上为法置一并亷法共六分六厘八毫以乗从隅得五百
　　二十四分三厘八毫与上法相乗除实四十一分九厘五毫○四忽余实三分一厘八毫四丝六忽　倍商加一算以从隅乗之为分母命之
　　以宻术求之得径几
　　答曰径三分三厘【七百三十七分厘之六百二十一】术曰一十四因积得一百二十六以一十一为从隅平方开之　初商三分　置一于左上为法　置一乗从隅得三十三分与上法相乗除实九十九分余实二十七分　倍下法得六分为亷法　次商三厘置一为上法　置一并亷法乗从隅得六百九十
　　三厘与上法相乗除实二十○分七厘九毫余实六分二厘一毫　倍商加一算以从隅因之得七百三十七为分母命之
　　还原曰径相乗得一十○分八厘九毫以一十一因得一百一十九分七厘九毫加不尽四分二厘一毫得原数
　　黄钟之大小不系于此但假此以明数之防妙耳尝观儒者之论律管徃徃泥于数而不察夫理假如黄钟之实乃十一度三因以起十一律之数律管以三分为损益故十一度三之非实有数也实乃算法中之实耳虽蔡九峯亦谓仲吕之实数不可三其数不行此律之所以止于十二也殊不知五音六律乃天地隂阳自然之理圣人因之制管以宣其声而又三分损益以定其管之长短使其无相夺伦顾乃以数为造律之本岂不谬哉
　　律管算附律管以三分损益故止立二三四乗除之法二一如二　　二二如四　　二三如六
　　二四如八　　二五作一一　二六作一三
　　二七作一五　二八作一七　二九作二
　　三一如三　　三二如六　　三三作一
　　三四作一三　三五作一六　三六作二
　　三七作二三　三八作二六　三九作三
　　四一如四　　四二如八　　四三作一三
　　四四作一七　四五作二二　四六作二六
　　四七作三一　四八作三五　四九作四　右因二归逢一作四一逢二进一
　　三归逢一作三　逢二作六　　逢三进一
　　四归逢一作二一逢二作四二　逢三作六三
　　逢四进一　　　　　　　　　　　右归
　　黄钟管长九寸　　　　　　　　　　　三归二因
　　林钟管长六寸　　　　　　　　　　　三归四因
　　太簇管长八寸　　　　　　　　　　　三归二因
　　南吕管长五寸三分　　　　　　　　　三归四因
　　姑洗管长七寸一分　　　　　　　　　三归二因
　　应钟管长四寸六分六厘　　　　　　　三归四因
　　防賔管长六寸二分八厘　　　　　　　三归四因
　　大吕管长八寸三分七厘六毫　　　　　三归二因
　　夷则管长五寸五分五厘一毫　　　　　三归四因夹钟管长七寸四分三厘七毫三丝　　　三归二因无射管长四寸八分八厘四毫八丝　　　三归四因仲吕管长六寸五分八厘三毫四丝六忽
　　右术止用九寸损益以定十一律管不必用十一度三因若求变黄钟就以仲吕之管三归四因即是不必更用七百二十九乗之数

　　弧矢算术

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